閉領域 判定 アルゴリズム

1.3.アルゴリズムの差異. アプリを開発する などなど多様なものが考えられますが、「探索」もまた、コンピュータを用いるモチベーションとして、最も基本的かつ重要なものの一つだと思います。探索とは、与えられた対象の中から、目的に合うものを見つけ出したり、最良のものを見つけ出したり、条件を満たすものを列挙したりする営みです。 世の中における様々な問題は … 人工知能をつくる 3. 凸包アルゴリズムの計算量は通例、入力点の数 n と凸包に属する点（出力点）の数 h とに関して評価される。 二次元及び三次元の点集合に対して、計算量 O(n log h) で凸包を計算できる出力依存アルゴリズムが知られている。 シミュレーションなどの大規模計算を行う 2. この手法については少々内容が複雑なので、補足として後述させてもらいます。, Crossing Number Algorithmと同等のアルゴリズムで考えた場合、こちらも多角形TをV[n]=V[0]とする頂点の配列V[n+1]として、以下のようになります。, Winding Number Algorithmをより一般的に解説すると、二次元平面上の点Pの周囲の閉連続曲線についての回転数を考えます。閉連続曲線をCとすると、, として、極座標上に表すことができます。つまり、回転数は「閉連続曲線Cについて、uを0から1まで変化させた時に単位円を何周したか」に置き換えることができます。, 次に、アルゴリズムの改良です。先ほどの単位上に任意の点Qをとったとします。は、を周回するので、点Qを何回か通過します。 閉路グラフ 閉路（へいろ、英: cycle ）あるいは閉道（へいどう、英: closed path ）とは、始点と終点が同じ道のこと。 すなわち、出発点に戻るような辿り方であって頂点の重複がないグラフのことである。グラフ理論や位相幾何学において用いられる。. 仮に、点Qを反時計回りに通過する場合に+1点Qを時計回りに通過する場合を-1とすると、その積算はがを周回した回数とできます。 上向きの辺である場合、は正なので、点Qを反時計回りに通過するので を+1 このアルゴリズムは、1956年にジョゼフ・クラスカル（英語版）が Proceedings of the American Mathematical Societyで発表した (pp. -スキャンラインが閉領域や頂点と接し ている場合などの処理は単純でない-斜めの画素がつながっているとみな す8連結とつながっていないとみな す4連結がある 21 8連結と4連結 8スキャンラインごとに内外を判定する⽅法 凸包構成アルゴリズム(2) 凸包構成の素朴なアルゴリズム (0)S: 平面上に与えられた点集合 (1)Sのすべての3点の組(p, q, r)について，この3点で決まる三角形の内部に 含まれる点を集合Sから取り除く． 問題の大きさ n の多項式オーダ(polynomial order)のアルゴリズムが存在する判定問題の全体をクラスP(class P) 1 という. これは、走査線一本ごとに境界を探して行く方法なので、 「スキャンラインアルゴリズム」とか「走査線アルゴリズム」とか呼ばれている。 処理ステップ. 最後に、領域探索について考えます。領域探索とは、点集合の中から、与えられた領域の中に含まれる点をすべて探しだすという問題です。一次元的な要素であれば、二分探索を利用することで簡単かつ効率的に探索することができます。 前提として、図2のような、閉曲線（境界線）で囲まれた領域があるとする 定アルゴリズムの最良の時間計算量は r 5 d n d (2 b +1) a ( ; は定数) である. ある2次元上の点が多角形の内部にあるかどうかを判定するには、判定点からX軸に水平な半直線を描き、 多角形の各線分との交点の個数が奇数ならば、内部の点と判断すればよい[2]。 ハミルトン閉路 2509 勝田宗平 2538 森岡蒼 2539 山﨑海斗 2622 坂田誠 2626 竹腰伸二 要旨 私たちはグラフ理論の分野のハミルトン閉路について研究してきた。この閉路の存在 を判定する条件を解明することがこの研究の本旨である。私たちはグラフの中でも3 正 今回は、第3工程にあたる、「内外判定」について解説します。現在地があるエリアの内側にいるか外側にいるかを考える場合、２次元平面上に存在する任意の点Pと多角形Tについて、点Pが多角形Tの内側にいるか外側にいるかを判定するにはどうしたらよいかを考えます。, このアルゴリズムは点Pから伸びる水平線Rが多角形Tの辺を交差する数()で判定します。が奇数ならば点Pは多角形Tの内側に、逆に偶数または0ならば外側にいると判定します。, このアルゴリズムは多角形Tが点Pの周りを回転した数()で判定します。 平面上にいくつかの凸多角形、おそらく地図があるとします。 これらのポリゴンは互いにぶつかってエッジを共有できますが、重なり合うことはできません。, 2つのポリゴンPとQが重なっているかどうかをテストするには、まずPの各エッジをテストして、それがQのいずれかのエッジと交差するかどうかを確認します。 交差が見つかったら、 PとQが交差すると宣言します。 交差するものがない場合は、 PがQに完全に含まれているかどうかをテストする必要があります。逆の場合も同様です。 次に、 P == Qの場合があります。 最後に、いくつかのエッジを共有するケースがありますが、それらすべてを共有するわけではありません。 （これらの最後の2つのケースはおそらく同じ一般的なケースと考えることができますが、それは重要ではないかもしれません。）, 2本の線分が交差する場所を検出するアルゴリズムがあります。 2つのセグメントが同一直線上にある場合、それらは私の目的のために交差するとは見なされません。, ケースを正しく列挙しましたか。 これらのケースをテストするための提案はありますか？, 交差点である新しい凸多角形を探しているのではないことに注意してください。交差点が存在するかどうかを知りたいだけです。 交差点を見つけるためのよく文書化されたアルゴリズムはたくさんありますが、私はすべての努力を経る必要はありません。, altCognitoがあなたにすでに解決策を与えてくれたので、私はあなたに興味を起こさせるかもしれない計算幾何学に関する優れた本を指摘するだけです。, 2つの凸多角形が交差している（接触している）かどうかを判断できるようにするために、Separating Axis Theoremを使用できます。 基本的に, 最初の文は簡単です。 多角形は両方とも凸形であるため、交差していない限り、一方の多角形と他方の多角形で線を引くことができます。 2番目は少し直感的ではありません。 図1を参照してください。ポリゴンの最も近い辺が互いに平行でない限り、それらが互いに最も近づく点は、1つのポリゴンの角が他のポリゴンの辺に最も近づく点です。 この辺はポリゴン間の分離軸を形成します。 辺が平行であれば、両者は軸を分離しています。, では、多角形AとBが交差するかどうかを判断するのに、これは具体的にどのように役立ちますか。 それでは、各ポリゴンの各辺を調べて、それが分離軸を形成しているかどうかを確認します。 これを行うには、いくつかの基本的なベクトル数学を使用して、両方のポリゴンのすべての点を潜在的な分離線に垂直な線に押しつぶします（図2を参照）。 今問題全体は便利な1次元です。 各ポリゴンの点が存在する領域を特定できます。これらの領域が重ならない場合は、この線が分離軸になります。, もし両方のポリゴンからの各行をチェックした後、分離軸が見つからなかった場合、ポリゴンが交差していることが証明されており、それについて何かしなければなりません。, もう一方の中心点に最も近い各ポリゴンの2点を見つけます。 それらは凸多角形の隣接点になります。 これらは各多角形の最も近い辺を定義します、ポイント{A、B}と{Y、Z}を呼びましょう。, 直線ABとYZの交点を見つけます。 線分が交差する（AB上の交差点がAとBの間にある）場合、ポリゴンは交差します。 ABとXYがこの条件を無視して平行である場合は、次のステップで問題をトラップします。, もう1つ確認する必要があるケースがあります。ポリゴンが交差してABとXYが完全に交差し、実際には交差しない場合です。 この場合をトラップするには、各ポリゴン中心点に対するABとXYの垂直距離を計算します。 どちらかの中心点が反対側の多角形の線分に近い場合、多角形は重なり合っています。, ポリゴンがまったく交差しない場合（完全に外側または完全に内側）、および何らかの形の部分交差がある場合（重なりがある場合はエッジが常に交差する場合）をチェックしているので、テストケースは機能するはずです。 。, テストのために、私はただすべての潜在的な組み合わせをテストするようにします。 私が見ているものから上記で欠けているものは、共有されているシングルエッジですが、一方のポリが他方に含まれています。 予防策として、多面的から多面的なものまで、より複雑な多角形のテストも追加します。, また、あなたがポリを完全に囲むが重ならないU字型のポリを持っていたならば、私はあなたのケースがそれを扱うだろうと思います、しかし私は同様にそれをチェックとして加えます。, 多角形が常に凸型である場合は、まず多角形の中心から中心まで引く線の角度を計算します。 そうすれば、他のポリゴンから180度離れたポリゴンの半分のエッジセグメントをテストする必要がなくなります。, エッジを削除するには、左側の多角形から始めます。 前の箇条書きの線分と垂直で、多角形の両側に接する多角形の中心から線分を引きます。 この線分pを頂点p1とp2で呼ぶ。 次に、x座標がp1.xおよびp2.xよりも小さい場合、すべての頂点に対して、その頂点は "安全なバケツ"に入ることができます。, そうでなければ、あなたはそれがラインの "安全な"側にあることを確かめるためにチェックしなければなりません（ちょうどy座標もチェックしてください）, そのような線は、ポリゴンの1つの辺の1つがそのような線を形成する場合にのみ存在します。. We can use the same formula for this. Area A = [ x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1-y2)]/2 2) Calculate area of the triangle PAB. クラスPに属す問題 -Problems belonging to class P. 具体的な判定問題としては, Hamilton閉路問題(Hamilton cycle problem) クリーク問題(clique problem) つまり、水平線Rが多角形Tの頂点を通る、または辺と水平である(重なる)といった特殊な状況を考慮しなければならないということです。, 他にも、点Pが多角形Tの辺の上に存在する場合を外側とするか内側にするかを考慮しなくてはいけません。この場合では、一般的に辺が多角形Tの左側もしくは下側の辺である場合は内側、逆に右側もしくは上側の辺である場合は外側とします。こうすることで、万が一２つの多角形の辺が重なり、その上に点Pが存在する場合に点Pがどちらの多角形上に存在しているかを決定できます。, アルゴリズムの実装にあたっては、全ての辺に対してルール1からルール4を満たしているかを確認し、満たしている場合は水平線Rと辺は交差すると判定し、をインクリメントします。, このアルゴリズムをコードで表す場合、多角形TはV[n]=V[0]とする頂点の配列V[n+1]となり、以下のようになります。, なお、Crossing Number Algorithmの妥当性は「シンプルな閉曲線は２次元平面を２つの接続されたコンポーネント（境界のある内側と境界の無い外側）に分割する」という"Jordan Curve Theorem"(参考資料2)を基礎としています。, そのため、自己交差を持つ(シンプルでない)場合は、コンポーネントが3つ以上存在するため、前述したような結果になります。, Winding Number Algorithmは、点Pを中心に多角形Tの辺を順番になぞっていった時に点Pの周りを何回回転するかを計算し、その数()によって内側・外側の判定を行います。(参考資料4のIntuitive descriptionの項を参照)この時、であれば多角形Tは点Pを取り囲んでいることになるので、点Pは多角形Tの内側にいると判定します。逆に、点Pが多角形Tの外側にいると判定されるのはの時だけです。このような判定を行うため、Winding Number Algorithmは先述のCrossing Number Algorithmと異なり自己交差を持つ多角形についても点の内外判定を正確に行えます。, 具体的な方法として、頂点からなる多角形Tにおける、点Pと頂点からなる線分、点Pと頂点からなる線分がなす角度(符号付き、反時計回りを正、時計回りを負)の合計を考えます。, この式を解くことによって内外判定を行うのですが、三角関数を利用しているため、前述したとおり交差数判定法よりも計算コストがかかることがわかります。, しかし、アルゴリズムを改良することでCrossing Number Algorithmと同等の計算コストに抑えることができます。それは、Crossing Number Algorithmと同様に点Pから伸びる水平線Rと多角形Tの辺が交差する数をカウントし、交差する辺が上向きであるか下向きで加算するか減算するかを変えるということです。 - 閉曲線を縮ませる(曲率). 下向きの辺である場合、は負なので、点Qを時計回りに通過するのでを−1 Let this area be A1. 現代ではコンピュータはとても身近なものになりました。コンピュータの用途としては 1. 4. この2 つのアルゴリズムの違いは、自己交差した領域内の点の判定結果にある。すなわ ち、自己交差領域について、Cross number algorithm は多角形外と誤認してしまうが、 Winding number algorithm は正しく多角形内と判定する。しかも、上記の方法なら 複雑な形状をした輪郭を，より少ない数の点で表現できる単純な形状によって近似する事が出来ます．近似する点の数はユーザが指定できます．この関数は Douglas-Peucker algorithm を実装したものです．アルゴリズムの詳細についてはWikipediaのページを参照してください． 3) Calculate area of the triangle PBC. とできます。, 上記の事柄をCrossing Number Algorithm同様ルール化すると、, Crossing Number Algorithmと同じに見えますが、通常のWinding Number Algorithmeと同様に自己交差領域でも内側であると判定できていることがわかります。, 今回は、現在地とエリアを２次元平面上に存在する任意の点Pと多角形Tに置き換え、点Pの多角形Tに対する内外判定を行うアルゴリズムについて解説しました。なかなか複雑な内容だったと思いますが、おわかりになりましたでしょうか。もっと理解を深めたいという方は、後述している参考資料を読み解いてみてください。次回は、第1工程である近接候補エリアの抽出について解説します。, Fast Winding Number Inclusion of a Point in Polygon by Dan Sunday. ©math.berkeley.edu/~sethian ©CG-ARTS協会 Shin Yoshizawa: shin@riken.jp Snake/Active Contour法2 Level Set法と呼ばれる方法と 組み合わせる事で位相変化に 対応し複数オブジェクトの領域 抽出が可能. サイズn f(n) =106n2 n6 en n! 無向グラフG=(V, E) 頂点集合V 頂点の対を表す枝の集合E e=(u,v) 頂点u, v は枝e の端点 無向グラフと有向グラフ 3 2 0 1 4 a c f e d b 3 2 0 1 4 a c f e d b 有向グラフG=(V, E) 頂点集合V 頂点の順序対を表す枝の集合E e=(u,v) 頂点uは枝eの始点 頂点vは枝eの終点 つまり、, を追加したアルゴリズムとなり、三角関数を計算することなくを得ることができます。 10 100秒 1秒 6:11時間 3:63 秒 20 400秒 1:06分 923 年 4060 年 40 26:7分 1:14 時間 4478 億年 2:59 £1026億年 100 2:78 時間 277:8時間 5:11£1023億年 2:99 £10134億年 指数関数以上のオーダーの関数は、計算時間がすぐに爆発してしまい、問題の可能解の総調べ的方法は問 - 閉曲線の連続性や滑らかさ. Example 3.2. キーワード 加算を持つ有理数の理論真偽判定アルゴリズム組合せ幾何学投影 1. 無向グラフ \(G=(V,E)\) について、\(G\) の部分グラフ \(T\) が以下を満たす時、\(T\) は全域木（Spanning Tree) と言います。 \(T\) は木\(T\) では\(V\) の任意の2頂点を連結にする（\(T\) は \(G\) の頂点 \(V\) を全て使っている） 特に \(T\) で使われる辺のコストの和が最小であるときは、最小全域 … 2つの凸多角形が交差しているかどうかはどうすればわかりますか? geometry - 高速 - 閉領域 判定 アルゴリズム . 点Pが閉連続曲線Cの内側にある場合、上の点Qを少なくとも1回は通過するので、は必ず0より大きくなります。, これを3.1.で示した多角形Tに置き換えて考えてみましょう。つまり、点Pと多角形Tの単位円上に点Qを設置し、点Pと頂点からなる線分と点Pと頂点からなる線分がなすでを考えます。, 今回は点Qを通過しないので、は変化しません。そして、 = 1となり、点P は多角形T の内側にいると判定できます。, 点Qは単位円上に存在するので、そのベクトルは、点Pと多角形Tがなすいずれかのベクトルの単位ベクトルです。また、点Pから伸びる水平線Rは、点Pが多角形Tの内側にある場合には多角形Tのいずれかの辺と必ず交差します。この時、点Pとその交点Oがなす線分POは点Pと多角形Tのベクトルとなり、その単位ベクトルは単位円上の点Qとなりえます。つまり、Crossing Number Algorithm同様、点Pから伸びる水平線Rと多角形Tとの交点について考えることでを求めることができます。そして、交点でを+1するか-1については辺の向きで決定できます。つまり、 以下のような同じ形状の座標があります。座標aは、右回り座標bは、左回りになっています。このような座標配列で、右回りか、左回りかを判断するよい方法はないでしょうか？よろしくお願いします。座標a1: 0,02: 7,03: 7,34: 4,35: 4,66: ねじれた閉曲線の内点判定には使用できない。 1. Let this area be A2. 多角形領域のエッジ上に点は存在しないため、xq(in), yq(in) で特定される 80 個の点はすべて厳密に多角形領域の内側にあります。 多角形領域の外側にある (内側やエッジ上ではない) 点の数を求めます。 輪郭の近似¶. 各走査線ごとにペイント対象の閉領域の内部の画素であるか、外部の画素であるか判定し、内部の画素を塗ります。 (3)多角領域を複数の三角形や台形に分割する ペイント処理が容易な複数の三角形か台形に分割し、それぞれの領域を順次塗ります。 が0である時に、すなわち多角形Tが点Pの周りを取り囲んでいない時、外側、それ以外の時は、内側にいると判定します。, ただし、これらの2つのアルゴリズムには判定結果が異なる状況が存在します。それは多角形Tが自己交差を持ち、点Pが自己交差している領域に存在する場合です。図示すると、以下の様な状況です。, 自己交差を持つからと言って、多角形の領域が変わるわけではありませんので、回転数判定法の方がより直感的な結果であると言えます。しかし、Crossing Number Algorithmの方が計算コストの小ささや実装が容易であることから、コンピュータグラフィックスの世界ではよく利用されているそうです。なお、Winding Number Algorithmについてもアルゴリズムを工夫することで交差数判定法と同等の計算コストにすることができます。この辺りの問題にも触れつつ、それぞれについて詳細と実装方法について説明していきたいと思います。, Crossing Number Algorithmでは、点Pから伸びる水平線Rが多角形Tを構成する辺と交差する度に、内側にいるか・外側にいるかの判定が変わります(がインクリメントされる)。そして、水平線Rが多角形Tの外側に出た時の状態(の値)が判定結果となります。, なお、Crossing Number Algorithmを実装するにあたり、1つ守らなくてはならないことがあります。それは、「必ず内側にいるか・外側にいるかの判定に関わる交差だけをカウントする」ということです。 領域探索. - 画像のエッジ強度. ご利用中のWebブラウザではJavaScriptが無効化されております。本Webサイトのすべての機能をご利用いただくために、JavaScriptを有効化した上でご覧ください。, 取得資格：応用情報技術者 / ITIL version3 Foundation / Ruby Association Certified Ruby Programmer Gold, 前回(と言っても一年近く経過していますね・・・。遅くなりました。)に引き続き、地図上に存在するエリアと現在地との関係性を計算機上で把握する手法の第2回目です。 48–50)。 クラスカル法は貪欲法の一種で、最小全域木を求める他のアルゴリズムとしては、プリム法、逆削除法（英語版）、ブルーフカ法などがある。最小全域木とは、グラフの全ての頂点を含む木で、辺の重みの総和が最小のものを言う。連結されていないグラフでは、「最小全域森」（それぞれの連結部分の最小全域木の集合）を求められる。 アルゴリズム： 1) Calculate area of the given triangle, i.e., area of the triangle ABC in the above diagram. を別の閉路として捉えているためです。単に「閉路」と言った場合、同じ点を2度通っても良いのでこのような結果になります。(上のコードでは、経路としては別ものでも、同じ「閉図形」になるものは一つと数えるようにしています。 ただし、これらの2つのアルゴリズムには判定結果が異なる状況が存在します。 それは多角形tが自己交差を持ち、点pが自己交差している領域に存在する場合です。

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